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I numeri relativi

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌳 Classe 3ª📅 Settembre – Ottobre
🔙 Ricordi dalla secondaI numeri naturali e la retta dei numeri (prima).
🔜 Ti servirà alle superioriAlle superiori: i numeri reali.
Matematica 3ª · I numeri relativiLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Dai naturali ai relativi

In N la sottrazione 3 − 5 è impossibile; con gli interi relativi (Z = {…, −2, −1, 0, +1, +2, …}) diventa possibile. Analogamente i razionali relativi (Q) comprendono le frazioni con segno. Insiemi: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R (i reali comprendono anche gli irrazionali come √2 e π).
Sulla retta orientata ogni numero ha un punto; distanza dall’origine = valore assoluto. Lo zero non è né positivo né negativo.

Proprietà delle operazioni

L’addizione in Z è sempre possibile; elemento neutro 0; ogni numero ha un opposto (a + (−a) = 0). La sottrazione si trasforma in addizione dell’opposto: per questo si parla di somma algebrica.
Moltiplicazione: neutro +1, assorbente 0; regola dei segni; in Q ogni numero diverso da 0 ha un reciproco (il reciproco di −2/3 è −3/2). Divisione per zero impossibile.
Potenze: (−a)ⁿ positivo se n è pari, negativo se dispari; attenzione: −2² = −4 ma (−2)² = +4. Esponente negativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ (2⁻³ = 1/8). Radice quadrata: solo di numeri non negativi; √16 = 4 (ma anche (−4)² = 16).

Espressioni

Ordine delle operazioni come in N; eliminazione delle parentesi con le regole dei segni. Esempio: −3 + [(−2)² − (+5) × (−1)] : (−3) = −3 + [4 + 5] : (−3) = −3 + (−3) = −6.

Applicazioni

Differenze di quota (da −400 m del Mar Morto a +8849 m dell’Everest: 9249 m), escursioni termiche, saldo di un conto, anni a.C. e d.C., fusi orari. Prepararsi ai relativi è fondamentale per equazioni e piano cartesiano.
La regola dei segni
× ÷+−
++−
−−+
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Mappa

Sono sopra o sotto lo zero?

I numeri relativi
  1. sopra lo zero
    Positivi
    • esempio+3
    • come3 gradi sopra zero
    • sulla rettaa destra dello zero
  2. sotto lo zero
    Negativi
    • esempio−3
    • come3 gradi sotto zero
    • sulla rettaa sinistra dello zero
    • confronto−5 è più piccolo di −2
  3. per sommare
    Addizione
    • segni ugualisommo e tengo il segno: −2 − 3 = −5
    • segni diversisottraggo, vince il più grande: −5 + 2 = −3
    • valore assolutoil numero senza segno: |−3| = 3
  4. regola dei segni
    Moltiplicazione e divisione
    • più per piùpiù
    • meno per menopiù
    • più per menomeno
    • esempio(−3) × (−2) = +6

Per moltiplicare: segni uguali → più; segni diversi → meno.

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Parole importanti

Z, Q, Rinteri, razionali, reali relativi
OPPOSTOa + (−a) = 0
RECIPROCOnumero che moltiplicato dà 1
ESPONENTE NEGATIVOa⁻ⁿ = 1/aⁿ
−2² ≠ (−2)²attenzione alle parentesi
SOMMA ALGEBRICAaddizioni e sottrazioni come un’unica operazione
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Dai naturali ai relativi: in N la sottrazione 3 − 5 è impossibile; con gli interi relativi (Z = {…, −2, −1, 0, +1, +2, …}) diventa possibile.
  2. Sulla retta orientata ogni numero ha un punto; distanza dall’origine = valore assoluto.
  3. Proprietà delle operazioni: l’addizione in Z è sempre possibile; elemento neutro 0; ogni numero ha un opposto (a + (−a) = 0).
  4. Moltiplicazione: neutro +1, assorbente 0; regola dei segni; in Q ogni numero diverso da 0 ha un reciproco (il reciproco di −2/3 è −3/2).
  5. Potenze: (−a)ⁿ positivo se n è pari, negativo se dispari; attenzione: −2² = −4 ma (−2)² = +4.
  6. Espressioni: ordine delle operazioni come in N; eliminazione delle parentesi con le regole dei segni.
  7. Applicazioni: differenze di quota (da −400 m del Mar Morto a +8849 m dell’Everest: 9249 m), escursioni termiche, saldo di un conto, anni a.C. e d.C., fusi orari.
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: 1/8 · −4 · negativo · −3/2
Lo zero non è né positivo né ______.
Il reciproco di −2/3 è ______.
2⁻³ è uguale a ______.
−2² è uguale a ______.

3Scegli la risposta giusta.

−3 + [(−2)² − (+5) × (−1)] : (−3) =

4Scegli la risposta giusta.

Quanto è la differenza di quota tra −400 m e +8849 m?

5Vero o falso?

Ogni numero relativo ha un opposto.

6Vero o falso?

(−3)⁴ è negativo.

7Rispondi con parole tue.

Spiega con un esempio perché “meno per meno fa più”.

8Rispondi con parole tue.

Risolvi e commenta i passaggi: [(−3) × (+4) − (−6)] : (−2) + (−1)³.

Com’è andata?
Matematica 3ª · I numeri relativiSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 🔢 Z, Q, R → interi, razionali, reali relativi; 🔁 OPPOSTO → a + (−a) = 0; 🔄 RECIPROCO → numero che moltiplicato dà 1; ⚡ ESPONENTE NEGATIVO → a⁻ⁿ = 1/aⁿ; ⚠️ −2² ≠ (−2)² → attenzione alle parentesi; 🧮 SOMMA ALGEBRICA → addizioni e sottrazioni come un’unica operazione
  2. negativo – −3/2 – 1/8 – −4
  3. −6
  4. 9249 m
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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