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Il calcolo letterale: monomi e polinomi

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌳 Classe 3ª📅 Novembre
🔙 Ricordi dalla secondaLe formule delle aree (seconda).
🔜 Ti servirà alle superioriAlle superiori: algebra e scomposizioni.
Matematica 3ª · Il calcolo letterale: monomi e polinomiLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Perché le lettere

Il calcolo letterale generalizza l’aritmetica: permette di scrivere proprietà valide per tutti i numeri (a + b = b + a), formule geometriche e fisiche (v = s/t), di tradurre problemi in linguaggio matematico (“il doppio di un numero aumentato di 5” = 2x + 5) e di risolverli con le equazioni.

Monomi

Monomio ridotto a forma normale: un solo coefficiente e ogni lettera una sola volta. Grado complessivo e grado rispetto a una lettera. Monomi uguali, simili, opposti. Operazioni: somma algebrica di simili; prodotto (somma degli esponenti); quoziente (differenza degli esponenti; risultato monomio solo se ogni esponente del dividendo è ≥ di quello del divisore); potenza (si moltiplicano gli esponenti). MCD e mcm di monomi: come per i numeri, con le lettere (MCD(6a²b, 9ab³) = 3ab; mcm = 18a²b³).

Polinomi

Polinomio ridotto, ordinato, completo; grado = grado massimo dei suoi termini. Operazioni: somma algebrica (si eliminano le parentesi e si riducono i simili), prodotto monomio × polinomio e polinomio × polinomio (ogni termine per ogni termine): (x + 2)(x − 3) = x² − 3x + 2x − 6 = x² − x − 6.

Prodotti notevoli

Quadrato di binomio: (a ± b)² = a² ± 2ab + b² (interpretabile come area di un quadrato diviso in quattro parti). Somma per differenza: (a + b)(a − b) = a² − b² (utile nel calcolo mentale: 21 × 19 = 400 − 1 = 399). Quadrato di trinomio: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Cubo di binomio: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Scomposizioni (cenni)

Il raccoglimento a fattor comune è la proprietà distributiva al contrario: 6a² + 9a = 3a(2a + 3). Riconoscere la differenza di quadrati: x² − 25 = (x + 5)(x − 5).

Identità

Un’identità è un’uguaglianza vera per ogni valore delle lettere ((a + b)² = a² + 2ab + b²); un’equazione è vera solo per alcuni valori: la studieremo nel prossimo argomento.
Prodotti notevoli
NomeFormula
Quadrato di binomio(a + b)² = a² + 2ab + b²
Somma per differenza(a + b)(a − b) = a² − b²
Cubo di binomio(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
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Mappa

Posso sommarli? Solo se hanno la stessa lettera.

Il calcolo letterale
  1. stanno al posto dei numeri
    Le lettere
    • formulal × l
    • 3a3 volte a
    • la letteraè un numero che non conosco ancora
  2. stessa lettera
    Sommare
    • esempio2a + 3a = 5a
    • lettere diverse2a + 3b non si somma
    • si chiamanomonomi simili
  3. è fatto di
    Il monomio
    • coefficienteil numero: 3
    • parte letteralele lettere: a
    • prodottomoltiplico i numeri, sommo gli esponenti: 2a × 3a = 6a²
  4. più monomi insieme
    Il polinomio
    • esempio2a + 3b − 1
    • binomiodue termini
    • quadrato di binomio(a + b)² = a² + 2ab + b²

Si sommano solo i monomi simili: 2a + 3a = 5a, ma 2a + 3b resta così.

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Parole importanti

FORMA NORMALEmonomio con un solo coefficiente e lettere non ripetute
POLINOMIO ORDINATOtermini in ordine di grado
RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNEdistributiva al contrario
DIFFERENZA DI QUADRATIa² − b² = (a + b)(a − b)
IDENTITÀuguaglianza vera per ogni valore
TRADUZIONEda parole a espressioni letterali
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Perché le lettere: il calcolo letterale generalizza l’aritmetica: permette di scrivere proprietà valide per tutti i numeri (a + b = b + a), formule geometriche e fisiche (v = s/t)…
  2. Monomi: monomio ridotto a forma normale: un solo coefficiente e ogni lettera una sola volta.
  3. Polinomi: polinomio ridotto, ordinato, completo; grado = grado massimo dei suoi termini.
  4. Prodotti notevoli: Quadrato di binomio: (a ± b)² = a² ± 2ab + b² (interpretabile come area di un quadrato diviso in quattro parti).
  5. Scomposizioni (cenni): il raccoglimento a fattor comune è la proprietà distributiva al contrario: 6a² + 9a = 3a(2a + 3).
  6. Identità: un’identità è un’uguaglianza vera per ogni valore delle lettere ((a + b)² = a² + 2ab + b²); un’equazione è vera solo per alcuni valori: la studieremo nel prossimo argomento.
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: 3a(2a + 3) · 399 · 2x + 5 · x² − x − 6
“Il doppio di un numero aumentato di 5” si scrive ______.
(x + 2)(x − 3) = ______.
21 × 19 = 400 − 1 = ______.
6a² + 9a = ______.

3Scegli la risposta giusta.

(x − 4)² =

4Scegli la risposta giusta.

mcm(4a²b, 6ab³) =

5Vero o falso?

(a + b)² = a² + 2ab + b² è un’identità.

6Vero o falso?

(a + b)² = a² + b².

7Rispondi con parole tue.

Traduci in espressione: “la somma dei quadrati di due numeri consecutivi”. Poi calcolala per x = 4.

8Rispondi con parole tue.

Spiega con un disegno perché (a + b)² = a² + 2ab + b².

Com’è andata?
Matematica 3ª · Il calcolo letterale: monomi e polinomiSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 📏 FORMA NORMALE → monomio con un solo coefficiente e lettere non ripetute; 📋 POLINOMIO ORDINATO → termini in ordine di grado; 🧩 RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE → distributiva al contrario; ➖ DIFFERENZA DI QUADRATI → a² − b² = (a + b)(a − b); 🟰 IDENTITÀ → uguaglianza vera per ogni valore; 🗣️ TRADUZIONE → da parole a espressioni letterali
  2. 2x + 5 – x² − x − 6 – 399 – 3a(2a + 3)
  3. x² − 8x + 16
  4. 12a²b³
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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