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Le equazioni di primo grado

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌳 Classe 3ª📅 Dicembre – Gennaio
🔙 Ricordi dalla secondaProporzioni e incognita (seconda).
🔜 Ti servirà alle superioriAlle superiori: sistemi ed equazioni di secondo grado.
Matematica 3ª · Le equazioni di primo gradoLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Uguaglianze, identità, equazioni

Un’uguaglianza tra espressioni letterali può essere un’identità (vera per ogni valore) o un’equazione (vera solo per alcuni valori). Un’equazione è determinata (soluzioni in numero finito), indeterminata o impossibile. Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Principi di equivalenza e regole pratiche

Primo principio → regola del trasporto; si possono eliminare termini uguali nei due membri. ✖️ Secondo principio → regola della divisione per il coefficiente, del cambiamento di segno (moltiplicare per −1), dell’eliminazione dei denominatori (moltiplicare per il mcm).

Procedura completa

Esempio con frazioni: (x − 1)/2 + x/3 = 4 → mcm 6 → 3(x − 1) + 2x = 24 → 3x − 3 + 2x = 24 → 5x = 27 → x = 27/5. Verifica: sostituisci e controlla che i due membri siano uguali.
Equazioni con parentesi e prodotti notevoli: (x + 2)² − x² = 12 → x² + 4x + 4 − x² = 12 → 4x = 8 → x = 2 (i termini x² si annullano: l’equazione è di primo grado).

Risolvere problemi

Fasi: 1) leggere e capire; 2) scegliere l’incognita (scrivi “sia x…”); 3) esprimere le altre quantità in funzione di x; 4) scrivere l’equazione; 5) risolverla; 6) controllare che la soluzione sia accettabile (es. un numero di persone deve essere naturale; una lunghezza positiva).
Esempio geometrico: in un rettangolo la base supera l’altezza di 4 cm e il perimetro è 40 cm: 2(x + 4 + x) = 40 → x = 8 (h = 8 cm, b = 12 cm).
Esempio con percentuali: dopo uno sconto del 20% un oggetto costa 64 €: x − 0,2x = 64 → 0,8x = 64 → x = 80 €.

Rappresentazione grafica

Risolvere ax + b = 0 equivale a trovare dove la retta y = ax + b incontra l’asse x: lo vedremo nel piano cartesiano.
Risolvere 3x + 5 = 20
⚖️3x + 5 = 20
➖Tolgo 5 da entrambi: 3x = 15
➗Divido per 3: x = 5
✅Verifica: 3 × 5 + 5 = 20
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Mappa

Quanto vale la x?

Le equazioni
  1. prima
    1Leggo
    • equazionex + 2 = 5
    • xil numero da trovare
    • i due membria sinistra e a destra dell’uguale
  2. poi
    2Sposto
    • le xa sinistra
    • i numeria destra
    • chi cambia latocambia segno: +2 diventa −2
  3. quindi
    3Calcolo
    • tolgo 25 − 2
    • risultatox = 3
    • se c’è un numero davanti alla xdivido: 2x = 6 → x = 3
  4. alla fine
    4Verifico
    • metto 3 al posto di x3 + 2 = 5
    • torna?sì, è giusto

L’equazione è una bilancia: quello che faccio da una parte lo faccio anche dall’altra.

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Parole importanti

EQUAZIONI EQUIVALENTIhanno le stesse soluzioni
DETERMINATAha un numero finito di soluzioni
CAMBIAMENTO DI SEGNOmoltiplicare entrambi i membri per −1
ELIMINARE I DENOMINATORImoltiplicare per il mcm
SOLUZIONE ACCETTABILEadatta al contesto del problema
“SIA x…”dichiarazione dell’incognita
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Uguaglianze, identità, equazioni: un’uguaglianza tra espressioni letterali può essere un’identità (vera per ogni valore) o un’equazione (vera solo per alcuni valori).
  2. Principi di equivalenza e regole pratiche: Primo principio → regola del trasporto; si possono eliminare termini uguali nei due membri. ✖️ Secondo principio → regola della divisione per il coefficiente, del cambiamento di segno (moltiplicare per −1)…
  3. Procedura completa: esempio con frazioni: (x − 1)/2 + x/3 = 4 → mcm 6 → 3(x − 1) + 2x = 24 → 3x − 3 + 2x = 24 → 5x = 27 → x = 27/5.
  4. Equazioni con parentesi e prodotti notevoli: (x + 2)² − x² = 12 → x² + 4x + 4 − x² = 12 → 4x = 8 → x = 2 (i termini x² si annullano: l’equazione è di primo grado).
  5. Risolvere problemi: fasi: 1) leggere e capire; 2) scegliere l’incognita (scrivi “sia x…”); 3) esprimere le altre quantità in funzione di x; 4) scrivere l’equazione; 5) risolverla; 6) controllare che la soluzione sia accettabile (es. un numero di persone deve essere naturale; una lunghezza positiva).
  6. Esempio geometrico: in un rettangolo la base supera l’altezza di 4 cm e il perimetro è 40 cm: 2(x + 4 + x) = 40 → x = 8 (h = 8 cm, b = 12 cm).
  7. Esempio con percentuali: dopo uno sconto del 20% un oggetto costa 64 €: x − 0,2x = 64 → 0,8x = 64 → x = 80 €.
  8. Rappresentazione grafica: risolvere ax + b = 0 equivale a trovare dove la retta y = ax + b incontra l’asse x: lo vedremo nel piano cartesiano.
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: 80 · accettabile · equivalenti · mcm
Due equazioni con le stesse soluzioni sono ______.
Per eliminare i denominatori moltiplico per il ______.
Una lunghezza negativa non è ______.
Se 0,8x = 64, allora x = ______.

3Scegli la risposta giusta.

(x − 1)/2 = 3. x =

4Scegli la risposta giusta.

Il triplo di un numero diminuito di 7 è 20. Il numero è…

5Vero o falso?

In (x + 2)² − x² = 12 i termini x² si annullano.

6Vero o falso?

Una soluzione è sempre accettabile qualunque sia il problema.

7Rispondi con parole tue.

Risolvi e verifica: 3(x − 2) − 2(x + 1) = x/2.

8Rispondi con parole tue.

Inventa un problema sull’età di due persone che si risolve con un’equazione e risolvilo.

Com’è andata?
Matematica 3ª · Le equazioni di primo gradoSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 🔁 EQUAZIONI EQUIVALENTI → hanno le stesse soluzioni; 📏 DETERMINATA → ha un numero finito di soluzioni; ➖ CAMBIAMENTO DI SEGNO → moltiplicare entrambi i membri per −1; 🧮 ELIMINARE I DENOMINATORI → moltiplicare per il mcm; ✅ SOLUZIONE ACCETTABILE → adatta al contesto del problema; 📝 “SIA x…” → dichiarazione dell’incognita
  2. equivalenti – mcm – accettabile – 80
  3. 7
  4. 9
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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