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Il piano cartesiano e le funzioni

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌳 Classe 3ª📅 Febbraio
🔙 Ricordi dalla secondaProporzionalità diretta e inversa (seconda).
🔜 Ti servirà alle superioriAlle superiori: geometria analitica.
Matematica 3ª · Il piano cartesiano e le funzioniLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Coordinate cartesiane

Il sistema di riferimento cartesiano ortogonale (René Descartes) collega geometria e algebra: ogni punto ↔ una coppia ordinata di numeri reali. Segni nei quadranti: I (+;+), II (−;+), III (−;−), IV (+;−). Punti sugli assi: (a; 0) sull’asse x, (0; b) sull’asse y. Punti simmetrici: rispetto all’asse x (x; −y), all’asse y (−x; y), all’origine (−x; −y).

Segmenti

Distanza: d(A,B) = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²] (teorema di Pitagora). Punto medio: media delle coordinate. Con le coordinate si calcolano perimetri e aree di poligoni (es. triangolo con vertici A(0;0), B(6;0), C(6;8): cateti 6 e 8, ipotenusa 10, area 24).

Funzioni

Una funzione f: x → y associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento. Funzioni empiriche (dati sperimentali) e matematiche (date da una formula). Grandezze direttamente proporzionali: y = kx (retta per l’origine); inversamente proporzionali: y = k/x (iperbole equilatera); proporzionalità quadratica: y = ax² (parabola con vertice nell’origine).

La retta

Ogni equazione di primo grado in x e y rappresenta una retta. Forma esplicita y = mx + q: m pendenza (m > 0 crescente, m < 0 decrescente, m = 0 orizzontale), q intercetta sull’asse y. Rette particolari: y = k (parallele all’asse x), x = h (parallele all’asse y, non sono funzioni). Parallele: stesso m; perpendicolari: m₁ × m₂ = −1. Per verificare se un punto appartiene a una retta si sostituiscono le coordinate.
L’intersezione di due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni (graficamente: punto in cui si incontrano). La retta incontra l’asse x dove y = 0: è la soluzione dell’equazione mx + q = 0.

Applicazioni

Grafici di moto (spazio-tempo con velocità costante: retta), costi (costo fisso + costo al minuto: y = 0,1x + 5), confronto di tariffe, conversioni (°F = 1,8 °C + 32).
La retta y = 2x + 1
x−1012
y−1135
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Mappa

Come trovo la posizione di un punto?

Il piano cartesiano
  1. è fatto da
    Gli assi
    • asse xorizzontale
    • asse yverticale
    • originedove si incontrano: (0; 0)
    • quadrantile quattro parti del piano
  2. ha due numeri
    Il punto
    • esempio(2; 3)
    • il primo2 passi a destra
    • il secondo3 passi in su
    • nomiascissa (x) e ordinata (y)
  3. si disegnano
    Le funzioni
    • funzionea ogni x corrisponde una y
    • comefaccio una tabella e segno i punti
    • y2x = una retta: proporzionalità diretta
    • y6 : x = una curva: proporzionalità inversa

Prima la x (cammino in orizzontale), poi la y (salgo in verticale).

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Parole importanti

PUNTI SIMMETRICIrispetto agli assi o all’origine
DOMINIOinsieme dei valori che può assumere x
INTERCETTA (q)punto in cui la retta taglia l’asse y
RETTE PERPENDICOLARIm₁ × m₂ = −1
INTERSEZIONEpunto comune di due rette
PARABOLAgrafico di y = ax²
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Coordinate cartesiane: il sistema di riferimento cartesiano ortogonale (René Descartes) collega geometria e algebra: ogni punto ↔ una coppia ordinata di numeri reali.
  2. Segmenti: distanza: d(A,B) = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²] (teorema di Pitagora).
  3. Funzioni: una funzione f: x → y associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento.
  4. La retta: ogni equazione di primo grado in x e y rappresenta una retta.
  5. L’intersezione di due rette si trova risolvendo il sistema delle loro equazioni (graficamente: punto in cui si incontrano).
  6. Applicazioni: grafici di moto (spazio-tempo con velocità costante: retta), costi (costo fisso + costo al minuto: y = 0,1x + 5), confronto di tariffe, conversioni (°F = 1,8 °C + 32).
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: −5 · decrescente · 24 · −1
Il simmetrico di (3; 5) rispetto all’asse x è (3; ______).
Se m < 0 la retta è ______.
Rette perpendicolari hanno m₁ × m₂ = ______.
Il triangolo con cateti 6 e 8 ha area ______.

3Scegli la risposta giusta.

Il punto (2; 5) appartiene alla retta y = 2x + 1?

4Scegli la risposta giusta.

Quale retta è parallela a y = 3x − 2?

5Vero o falso?

x = 4 è una retta parallela all’asse y.

6Vero o falso?

La retta y = −2x + 1 è crescente.

7Rispondi con parole tue.

Rappresenta y = 2x − 1 e y = −x + 5 e trova il punto di intersezione.

8Rispondi con parole tue.

Una tariffa telefonica costa 5 € al mese più 0,10 € al minuto. Scrivi la funzione e calcola la spesa per 120 minuti.

Com’è andata?
Matematica 3ª · Il piano cartesiano e le funzioniSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 🪞 PUNTI SIMMETRICI → rispetto agli assi o all’origine; 🗂️ DOMINIO → insieme dei valori che può assumere x; ⬆️ INTERCETTA (q) → punto in cui la retta taglia l’asse y; ⊥ RETTE PERPENDICOLARI → m₁ × m₂ = −1; 🔀 INTERSEZIONE → punto comune di due rette; 〰️ PARABOLA → grafico di y = ax²
  2. −5 – decrescente – −1 – 24
  3. Sì
  4. y = 3x + 7
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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