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La probabilità

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌳 Classe 3ª📅 Marzo
🔙 Ricordi dalla secondaStatistica e frequenze (seconda).
🔜 Ti servirà alle superioriAlle superiori: calcolo combinatorio e statistica.
Matematica 3ª · La probabilitàLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Il concetto di probabilità

Il calcolo delle probabilità nasce nel Seicento (Pascal e Fermat) studiando i giochi di dadi. Si basa su: esperimento aleatorio, spazio dei campioni (insieme di tutti i risultati possibili, es. {1,2,3,4,5,6}), eventi (sottoinsiemi: “numero pari” = {2,4,6}).

Tre definizioni

Classica: rapporto tra casi favorevoli e possibili equiprobabili. 📊 Frequentista: frequenza relativa su un grande numero di prove (si usa quando i casi non sono equiprobabili: probabilità che una puntina cada sulla punta, che piova a giugno). 🤔 Soggettiva: grado di fiducia di una persona (scommesse).

Regole

p(non E) = 1 − p(E). ➕ Eventi incompatibili: p(A ∪ B) = p(A) + p(B); compatibili: p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) (es. estrarre una figura o una carta di cuori). ✖️ Eventi indipendenti: p(A ∩ B) = p(A) · p(B). Eventi dipendenti (estrazione senza rimettere): la probabilità cambia (due assi di fila da 40 carte: 4/40 × 3/39 = 1/130).

Strumenti di conteggio

Diagramma ad albero e tabella a doppia entrata (lancio di due dadi: 36 casi; la somma più probabile è 7 con 6/36). Il conteggio delle combinazioni è l’inizio del calcolo combinatorio.

Probabilità e vita reale

Fallacia del giocatore: dopo cinque teste la probabilità della sesta resta 1/2 (le monete “non hanno memoria”). Lotterie e Gratta e vinci hanno probabilità minime (vincere il SuperEnalotto con una schedina singola: circa 1 su 622 milioni) e il valore atteso è negativo: il gioco d’azzardo può creare dipendenza (ludopatia).
La probabilità si usa nelle previsioni meteo, in medicina (efficacia di farmaci e test), nelle assicurazioni, nella genetica (quadrato di Punnett), nell’intelligenza artificiale.
Lancio di un dado
EventoCasi favorevoliProbabilità
Esce il 611/6
Esce un numero pari3 (2, 4, 6)3/6 = 1/2
Esce un numero < 761 (evento certo)
Esce il 700 (evento impossibile)
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Mappa

Quanti casi mi vanno bene, su quanti in tutto?

La probabilità
  1. prova con
    Esempi
    • dado1 su 6
    • moneta1 su 2
    • un asso in un mazzo da 404 su 40
  2. possono essere
    Gli eventi
    • certosuccede di sicuro
    • impossibilenon succede mai
    • probabilepuò succedere
    • valoricerto = 1, impossibile = 0
  3. si calcola
    La formula
    • casi favorevoliquelli che mi vanno bene
    • casi possibilitutti
    • probabilitàfavorevoli : possibili
    • in percentuale1 su 2 = 0,5 = 50%

Probabilità = casi favorevoli diviso casi possibili. Va sempre da 0 a 1.

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Parole importanti

SPAZIO DEI CAMPIONItutti i risultati possibili
PROBABILITÀ FREQUENTISTAcalcolata dalle frequenze
PROBABILITÀ SOGGETTIVAgrado di fiducia personale
DIAGRAMMA AD ALBEROschema per contare i casi
EVENTI DIPENDENTIla probabilità cambia dopo il primo evento
FALLACIA DEL GIOCATOREcredere che gli eventi passati influenzino quelli indipendenti
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Il concetto di probabilità: il calcolo delle probabilità nasce nel Seicento (Pascal e Fermat) studiando i giochi di dadi.
  2. Tre definizioni: Classica: rapporto tra casi favorevoli e possibili equiprobabili. 📊 Frequentista: frequenza relativa su un grande numero di prove (si usa quando i casi non sono equiprobabili: probabilità che una puntina cada sulla punta, che piova a giugno). 🤔 Soggettiva: grado di fiducia di una persona (scommesse).
  3. Regole: p(non E) = 1 − p(E). ➕ Eventi incompatibili: p(A ∪ B) = p(A) + p(B).
  4. Strumenti di conteggio: Diagramma ad albero e tabella a doppia entrata (lancio di due dadi: 36 casi; la somma più probabile è 7 con 6/36).
  5. Probabilità e vita reale: Fallacia del giocatore: dopo cinque teste la probabilità della sesta resta 1/2 (le monete “non hanno memoria”).
  6. La probabilità si usa nelle previsioni meteo, in medicina (efficacia di farmaci e test), nelle assicurazioni, nella genetica (quadrato di Punnett), nell’intelligenza artificiale.
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: 7 · dipendenza · memoria · Fermat
Pascal e ______ studiarono la probabilità.
Con due dadi la somma più probabile è ______.
Le monete non hanno ______.
Il gioco d’azzardo può creare ______.

3Scegli la risposta giusta.

Probabilità di estrarre una figura o un cuori da 40 carte (12 figure, 10 cuori, 3 figure di cuori)?

4Scegli la risposta giusta.

Due assi di fila da 40 carte senza reinserimento?

5Vero o falso?

Il valore atteso delle lotterie è negativo per il giocatore.

6Vero o falso?

Dopo cinque teste è più probabile che esca croce.

7Rispondi con parole tue.

Costruisci la tabella dei 36 risultati del lancio di due dadi e calcola la probabilità di ogni somma.

8Rispondi con parole tue.

Spiega con la probabilità perché il gioco d’azzardo non conviene.

Com’è andata?
Matematica 3ª · La probabilitàSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 🗂️ SPAZIO DEI CAMPIONI → tutti i risultati possibili; 📊 PROBABILITÀ FREQUENTISTA → calcolata dalle frequenze; 🤔 PROBABILITÀ SOGGETTIVA → grado di fiducia personale; 🌳 DIAGRAMMA AD ALBERO → schema per contare i casi; 🔗 EVENTI DIPENDENTI → la probabilità cambia dopo il primo evento; 🎰 FALLACIA DEL GIOCATORE → credere che gli eventi passati influenzino quelli indipendenti
  2. Fermat – 7 – memoria – dipendenza
  3. 19/40
  4. 1/130
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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