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Circonferenza e cerchio

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌳 Classe 3ª📅 Marzo – Aprile
🔙 Ricordi dalla secondaGli angoli e i poligoni (prima); le aree (seconda).
🔜 Ti servirà alle superioriAlle superiori: geometria analitica della circonferenza.
Matematica 3ª · Circonferenza e cerchioLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Elementi e proprietà

Circonferenza (linea) e cerchio (superficie). Elementi: centro, raggio, corde, diametro, archi, angoli al centro (vertice nel centro) e angoli alla circonferenza (vertice sulla circonferenza). Proprietà: l’asse di una corda passa per il centro; corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro; per tre punti non allineati passa una sola circonferenza.
Teorema dell’angolo alla circonferenza: ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro; di conseguenza ogni angolo alla circonferenza che insiste su un diametro è retto (un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo).

Posizioni reciproche

Retta-circonferenza: esterna (d > r), tangente (d = r), secante (d < r), dove d è la distanza dal centro. Due circonferenze: esterne, tangenti, secanti, interne, concentriche (corona circolare: A = π(R² − r²)).

Poligoni inscritti e circoscritti

Un poligono è inscritto se i suoi vertici stanno sulla circonferenza, circoscritto se i suoi lati sono tangenti. Ogni triangolo è inscrivibile e circoscrivibile; un quadrilatero è inscrivibile se gli angoli opposti sono supplementari. I poligoni regolari sono sempre inscrittibili e circoscrittibili (l’apotema è il raggio della circonferenza inscritta).

Misure

C = 2πr; A = πr². Con π si lascia spesso il risultato in forma esatta (es. 25π cm²). Arco: ℓ = 2πr·α/360°; settore: A = πr²·α/360° = ℓ·r/2. Lunghezza e area sono proporzionali all’angolo: si può usare una proporzione.
Esempi: una ruota di bici con diametro 70 cm percorre in un giro circa 2,2 m; la corona circolare serve per calcolare l’area di un anello o di una pista.

Problemi tipici

Area di figure composte (quadrato con cerchio inscritto: area tra le due figure = l² − π(l/2)²); calcolo del raggio dall’area o dalla circonferenza; angoli in un orologio (ogni ora = 30°).
Formulario
Che cosaFormula
Circonferenza (lunghezza)C = 2 × π × r
Area del cerchioA = π × r²
Lunghezza dell’arcoℓ = C × α / 360°
Area del settoreA = π r² × α / 360°
π (pi greco)≈ 3,14
Matematica 3ª · Circonferenza e cerchioLivello 4 – Facilitato

Mappa

Sto parlando del bordo o di tutto l’interno?

Circonferenza e cerchio
  1. ha
    Le parti
    • centroil punto in mezzo
    • raggiodal centro al bordo
    • diametrodue raggi: passa per il centro
    • cordaunisce due punti del bordo
  2. distinguo
    Bordo e interno
    • circonferenzail bordo
    • cerchiobordo più interno
    • arcoun pezzo di circonferenza
  3. numero speciale
    Il pi greco
    • πcirca 3,14
    • che cos’ècirconferenza diviso diametro
  4. si calcola
    Le formule
    • circonferenza2 × π × r
    • area del cerchioπ × r²
    • esempior = 5 cm → C = 31,4 cm, A = 78,5 cm²

Circonferenza = il bordo (una linea). Cerchio = bordo più tutto l’interno (una superficie).

Matematica 3ª · Circonferenza e cerchioLivello 4 – Facilitato

Parole importanti

ANGOLO AL CENTROvertice nel centro della circonferenza
ANGOLO ALLA CIRCONFERENZAvertice sulla circonferenza, metà dell’angolo al centro
CORONA CIRCOLAREregione tra due circonferenze concentriche
POLIGONO INSCRITTOvertici sulla circonferenza
POLIGONO CIRCOSCRITTOlati tangenti alla circonferenza
FORMA ESATTArisultato espresso con π (25π)
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Elementi e proprietà: circonferenza (linea) e cerchio (superficie).
  2. Teorema dell’angolo alla circonferenza: ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
  3. Posizioni reciproche: retta-circonferenza: esterna (d > r), tangente (d = r), secante (d < r), dove d è la distanza dal centro.
  4. Poligoni inscritti e circoscritti: un poligono è inscritto se i suoi vertici stanno sulla circonferenza, circoscritto se i suoi lati sono tangenti.
  5. Misure: c = 2πr; A = πr².
  6. Esempi: una ruota di bici con diametro 70 cm percorre in un giro circa 2,2 m; la corona circolare serve per calcolare l’area di un anello o di una pista.
  7. Problemi tipici: area di figure composte (quadrato con cerchio inscritto: area tra le due figure = l² − π(l/2)²); calcolo del raggio dall’area o dalla circonferenza; angoli in un orologio (ogni ora = 30°).
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: metà · rettangolo · r² · 30
L’angolo alla circonferenza è la ______ dell’angolo al centro.
Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è ______.
L’area della corona circolare è π(R² − ______).
Sull’orologio ogni ora corrisponde a ______°.

3Scegli la risposta giusta.

Una ruota di diametro 70 cm in 100 giri percorre circa…

4Scegli la risposta giusta.

Un quadrilatero è inscrivibile se…

5Vero o falso?

Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza.

6Vero o falso?

Se la distanza dal centro è minore del raggio la retta è esterna.

7Rispondi con parole tue.

Calcola l’area della parte di un quadrato di lato 10 cm che resta fuori dal cerchio inscritto.

8Rispondi con parole tue.

Spiega perché ogni angolo che insiste su un diametro è retto.

Com’è andata?
Matematica 3ª · Circonferenza e cerchioSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 📐 ANGOLO AL CENTRO → vertice nel centro della circonferenza; 📐 ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA → vertice sulla circonferenza, metà dell’angolo al centro; ⭕ CORONA CIRCOLARE → regione tra due circonferenze concentriche; 🔺 POLIGONO INSCRITTO → vertici sulla circonferenza; 🔲 POLIGONO CIRCOSCRITTO → lati tangenti alla circonferenza; 🧮 FORMA ESATTA → risultato espresso con π (25π)
  2. metà – rettangolo – r² – 30
  3. 220 m
  4. gli angoli opposti sono supplementari
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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