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Angoli al centro e angoli alla circonferenza

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌳 Classe 3ª📅 Aprile
🔙 Ricordi dalla secondaGli angoli (prima); circonferenza e cerchio (scheda precedente).
🔜 Ti servirà alle superioriAlle superiori: teoremi sulla circonferenza e goniometria.
Matematica 3ª · Angoli al centro e angoli alla circonferenzaLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Definizioni

Angolo al centro: angolo con il vertice nel centro O della circonferenza; i lati sono due raggi. Angolo alla circonferenza (o inscritto): angolo con il vertice V sulla circonferenza e i lati secanti (due corde), oppure uno secante e uno tangente.
Un angolo insiste sull’arco AB compreso tra i suoi lati. Su ogni arco insiste un solo angolo al centro e infiniti angoli alla circonferenza.

Il teorema dell’angolo alla circonferenza

Un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco: α = β : 2, dove β è l’angolo al centro.
Idea della dimostrazione (caso in cui un lato passa per il centro): il triangolo VOB è isoscele perché OV = OB (sono raggi), quindi ha i due angoli alla base uguali, ciascuno α. L’angolo al centro AOB è un angolo esterno del triangolo, quindi è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti: β = α + α = 2α. Gli altri casi (centro dentro o fuori dall’angolo) si riconducono a questo tracciando il diametro che passa per V.

Conseguenze

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o su archi congruenti) sono congruenti.
Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto: un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo e la sua ipotenusa è il diametro. Al contrario, il punto medio dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo è il centro della circonferenza circoscritta.
In un quadrilatero inscritto due angoli opposti insistono su due archi che insieme formano l’intera circonferenza: la loro somma è 360° : 2 = 180° (sono supplementari).

Applicazioni

Trovare angoli mancanti nelle figure inscritte; costruire un angolo retto con riga e compasso (basta un diametro); riconoscere un triangolo rettangolo senza goniometro; nei problemi, calcolare i lati del triangolo rettangolo inscritto con il teorema di Pitagora, sapendo che l’ipotenusa è il diametro (d = 2r).
Esempio: r = 5 cm e un cateto misura 6 cm. L’ipotenusa è il diametro, 10 cm; l’altro cateto è √(10² − 6²) = √64 = 8 cm.
Angolo al centro e angolo alla circonferenza sullo stesso arco
OPAB120°60°arco AB

L’angolo in P (60°) è la metà dell’angolo al centro in O (120°): tutti e due insistono sull’arco AB.

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Mappa

Dove sta il vertice: nel centro o sulla circonferenza?

Angoli nella circonferenza
  1. vertice nel centro
    Angolo al centro
    • verticenel centro
    • è grandeil doppio
    • esempio120°
    • latidue raggi
    • su mezza circonferenza180°, angolo piatto
  2. vertice sul bordo
    Angolo alla circonferenza
    • verticesulla circonferenza
    • èla metà
    • esempio60°
    • latidue corde
    • su mezza circonferenza90°, angolo retto
    • sullo stesso arcosono tutti uguali
  3. la dimostrazione
    Perché funziona
    • triangolo isosceledue lati sono raggi
    • angolo esternosomma dei due interni
    • risultatoβ = α + α = 2α

Stesso arco: l’angolo alla circonferenza è sempre la metà dell’angolo al centro.

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Parole importanti

ANGOLO AL CENTROvertice nel centro, lati raggi
ANGOLO ALLA CIRCONFERENZAvertice sulla circonferenza, metà dell’angolo al centro
INSISTEREl’arco è compreso tra i lati dell’angolo
TRIANGOLO ISOSCELEdue lati uguali (qui due raggi)
ANGOLO ESTERNOsomma dei due angoli interni non adiacenti
QUADRILATERO INSCRITTOangoli opposti supplementari
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Definizioni: Angolo al centro: angolo con il vertice nel centro O della circonferenza; i lati sono due raggi.
  2. Un angolo insiste sull’arco AB compreso tra i suoi lati.
  3. Il teorema dell’angolo alla circonferenza: un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco: α = β : 2, dove β è l’angolo al centro.
  4. Idea della dimostrazione (caso in cui un lato passa per il centro): il triangolo VOB è isoscele perché OV = OB (sono raggi), quindi ha i due angoli alla base uguali, ciascuno α.
  5. Conseguenze: tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco (o su archi congruenti) sono congruenti.
  6. Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto: un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo e la sua ipotenusa è il diametro.
  7. In un quadrilatero inscritto due angoli opposti insistono su due archi che insieme formano l’intera circonferenza: la loro somma è 360° : 2 = 180° (sono supplementari).
  8. Applicazioni: trovare angoli mancanti nelle figure inscritte; costruire un angolo retto con riga e compasso (basta un diametro); riconoscere un triangolo rettangolo senza goniometro; nei problemi…
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: circonferenza · metà · diametro · supplementari
Un angolo alla circonferenza è la ______ dell’angolo al centro corrispondente.
Su ogni arco insistono infiniti angoli alla ______.
In un triangolo inscritto in una semicirconferenza l’ipotenusa è il ______.
Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto sono ______.

3Scegli la risposta giusta.

Angolo al centro 150°: ogni angolo alla circonferenza sullo stesso arco misura…

4Scegli la risposta giusta.

In un quadrilatero inscritto un angolo misura 110°. L’angolo opposto misura…

5Scegli la risposta giusta.

Triangolo rettangolo inscritto con cateti 6 cm e 8 cm: il raggio della circonferenza è…

6Vero o falso?

Su un arco insiste un solo angolo al centro.

7Vero o falso?

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza può essere ottusangolo.

8Rispondi con parole tue.

Spiega con il triangolo isoscele perché l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza.

9Rispondi con parole tue.

Una circonferenza ha raggio 6,5 cm. Un triangolo inscritto ha un lato sul diametro e un cateto di 5 cm: calcola l’altro cateto.

Com’è andata?
Matematica 3ª · Angoli al centro e angoli alla circonferenzaSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 📍 ANGOLO AL CENTRO → vertice nel centro, lati raggi; 🖊️ ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA → vertice sulla circonferenza, metà dell’angolo al centro; 🌙 INSISTERE → l’arco è compreso tra i lati dell’angolo; 🔺 TRIANGOLO ISOSCELE → due lati uguali (qui due raggi); 📐 ANGOLO ESTERNO → somma dei due angoli interni non adiacenti; 🔁 QUADRILATERO INSCRITTO → angoli opposti supplementari
  2. metà – circonferenza – diametro – supplementari
  3. 75°
  4. 70°
  5. 5 cm
  6. VERO
  7. FALSO
  8. Risposta libera.
  9. Risposta libera.

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