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I solidi: poliedri

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌳 Classe 3ª📅 Aprile – Maggio
🔙 Ricordi dalla secondaI poligoni e le aree (prima e seconda).
🔜 Ti servirà alle superioriAlle superiori: geometria solida.
Matematica 3ª · I solidi: poliedriLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Geometria nello spazio

Nello spazio rette e piani possono essere paralleli, incidenti, perpendicolari; le rette anche sghembe. L’angolo tra due piani è il diedro. Un poliedro è un solido limitato da un numero finito di poligoni; è convesso se giace tutto da una parte di ogni faccia. Lo sviluppo di un poliedro è la figura piana ottenuta aprendo le facce.
Relazione di Eulero (poliedri convessi): F + V = S + 2.

Prismi

Prisma retto: basi poligonali congruenti e parallele, facce laterali rettangoli. Regolare se la base è un poligono regolare. Formule: S_l = 2p_b · h; S_t = S_l + 2A_b; V = A_b · h. Parallelepipedo rettangolo: S_t = 2(ab + bc + ac), V = abc, diagonale d = √(a² + b² + c²). Cubo: S_t = 6l², V = l³, d = l√3.

Piramidi

Piramide retta se nella base si può inscrivere una circonferenza il cui centro è il piede dell’altezza; regolare se è retta e ha base regolare. Apotema a, altezza h e apotema di base r formano un triangolo rettangolo: a = √(h² + r²) (Pitagora). Formule: S_l = 2p_b · a : 2; S_t = S_l + A_b; V = A_b · h : 3 (una piramide ha volume pari a 1/3 del prisma con stessa base e altezza: lo dimostra l’esperimento del travaso). Tronco di piramide (cenni).

Equivalenza e principio di Cavalieri

Solidi equivalenti hanno lo stesso volume. Principio di Cavalieri: se due solidi tagliati da piani paralleli hanno sezioni equivalenti alla stessa altezza, sono equivalenti.

Misure di volume, capacità e peso

1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³; 1 dm³ = 1 L; 1 cm³ = 1 mL. Peso = V × ps (ps acqua = 1 g/cm³, ferro 7,8, sughero 0,25): un corpo galleggia se il suo ps è minore di quello del liquido.

Poliedri regolari

Facce poligoni regolari congruenti e stessi angoloidi: solo 5 (tetraedro 4 triangoli, cubo 6 quadrati, ottaedro 8 triangoli, dodecaedro 12 pentagoni, icosaedro 20 triangoli). Platone li associava agli elementi; si trovano nei cristalli, nei virus, nei dadi da gioco.
Formulario dei poliedri
SolidoArea totaleVolume
🧊 Cubo6 × l²l³
📦 Parallelepipedo2(ab + bc + ac)a × b × c
🏢 Prisma retto2p × h + 2 × A_baseA_base × h
🔺 Piramide rettaA_base + (2p × apotema) : 2A_base × h : 3
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Mappa

Quanto spazio occupa e quanta carta serve per rivestirlo?

I poliedri
  1. solido
    Il cubo
    • facce6
    • come sonoquadrati uguali
    • volumelato × lato × lato
    • superficie totale6 × lato²
  2. solido
    Il parallelepipedo
    • com’èuna scatola
    • facce6 rettangoli
    • volumelunghezza × larghezza × altezza
  3. solido
    La piramide
    • hauna punta
    • facce lateralitriangoli
    • volumearea di base × altezza : 3
  4. ogni poliedro ha
    Le parole
    • faccele superfici piane
    • spigolii lati
    • verticile punte
    • prismadue basi uguali; volume = area di base × altezza

Superficie = la “pelle” del solido (cm²). Volume = lo spazio dentro (cm³).

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Parole importanti

DIEDROangolo tra due piani
SVILUPPOfigura piana ottenuta aprendo il solido
PIRAMIDE REGOLAREretta con base regolare
PRINCIPIO DI CAVALIERIsezioni equivalenti → volumi uguali
SOLIDI EQUIVALENTIhanno lo stesso volume
1 cm³1 mL = equivalenza di capacità
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Geometria nello spazio: nello spazio rette e piani possono essere paralleli, incidenti, perpendicolari; le rette anche sghembe.
  2. Relazione di Eulero (poliedri convessi): F + V = S + 2.
  3. Prismi: prisma retto: basi poligonali congruenti e parallele, facce laterali rettangoli.
  4. Piramidi: piramide retta se nella base si può inscrivere una circonferenza il cui centro è il piede dell’altezza; regolare se è retta e ha base regolare.
  5. Equivalenza e principio di Cavalieri: solidi equivalenti hanno lo stesso volume.
  6. Misure di volume, capacità e peso: 1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³; 1 dm³ = 1 L; 1 cm³ = 1 mL.
  7. Poliedri regolari: facce poligoni regolari congruenti e stessi angoloidi: solo 5 (tetraedro 4 triangoli, cubo 6 quadrati, ottaedro 8 triangoli, dodecaedro 12 pentagoni, icosaedro 20 triangoli).
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: mL · Pitagora · sviluppo · galleggia
Lo ______ di un cubo è formato da 6 quadrati.
L’apotema della piramide si calcola con ______.
1 cm³ equivale a 1 ______.
Il sughero ______ nell’acqua.

3Scegli la risposta giusta.

Piramide regolare quadrangolare: lato di base 12 cm, altezza 8 cm. Apotema?

4Scegli la risposta giusta.

Quanti litri contiene una vasca di 2 m × 1 m × 0,5 m?

5Vero o falso?

Una piramide ha 1/3 del volume del prisma con stessa base e altezza.

6Vero o falso?

Esistono 7 poliedri regolari.

7Rispondi con parole tue.

Calcola superficie totale e volume di un parallelepipedo 4 × 5 × 10 cm e la sua diagonale.

8Rispondi con parole tue.

Disegna lo sviluppo di una piramide quadrangolare e spiega come calcolarne la superficie.

Com’è andata?
Matematica 3ª · I solidi: poliedriSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 📐 DIEDRO → angolo tra due piani; 🗺️ SVILUPPO → figura piana ottenuta aprendo il solido; 🔺 PIRAMIDE REGOLARE → retta con base regolare; ⚖️ PRINCIPIO DI CAVALIERI → sezioni equivalenti → volumi uguali; 🧊 SOLIDI EQUIVALENTI → hanno lo stesso volume; 🥛 1 cm³ → 1 mL = equivalenza di capacità
  2. sviluppo – Pitagora – mL – galleggia
  3. 10 cm
  4. 1000 L
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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