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Multipli, divisori e numeri primi

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌱 Classe 1ª📅 Novembre – Dicembre
🔙 Ricordi dalla primariaLe tabelline.
🔜 Ti servirà in secondaIn seconda: la scomposizione per semplificare le frazioni.
Matematica 1ª · Multipli, divisori e numeri primiLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Multipli e divisori

a è multiplo di b se esiste un naturale n tale che a = b × n. Allora b è divisore (o sottomultiplo) di a e “a è divisibile per b”. 0 è multiplo di ogni numero; 1 è divisore di ogni numero; ogni numero è multiplo e divisore di se stesso.

Criteri di divisibilità

2: ultima cifra pari. 3: somma delle cifre multipla di 3. 4: ultime due cifre 00 o multiplo di 4. 5: ultima cifra 0 o 5. 9: somma delle cifre multipla di 9. 10, 100, 1000: termina con 1, 2, 3 zeri. 11: la differenza tra somma delle cifre di posto dispari e di posto pari è 0 o multiplo di 11 (es. 2 838: (2+3) − (8+8) = −11).

Numeri primi

Un numero maggiore di 1 è primo se ha esattamente due divisori. I primi sono infiniti (lo dimostrò Euclide). Per capire se un numero è primo si prova a dividerlo per i primi 2, 3, 5, 7, 11… fino a quando il quoziente diventa minore del divisore.
Crivello di Eratostene: si scrivono i numeri da 2 a 100 e si cancellano via via i multipli di 2, 3, 5, 7: restano i primi.

Scomposizione in fattori primi

Teorema fondamentale dell’aritmetica: ogni numero composto si scompone in modo unico come prodotto di fattori primi. Esempio: 360 = 2³ × 3² × 5.
Dalla scomposizione si capiscono molte cose: un numero è divisibile per un altro se contiene tutti i suoi fattori con esponente uguale o maggiore; il numero dei divisori si calcola moltiplicando gli esponenti aumentati di 1 (360 ha (3+1)(2+1)(1+1) = 24 divisori).

Curiosità

I numeri primi molto grandi sono alla base della crittografia che protegge i dati su internet.
Criteri di divisibilità
Un numero è divisibile per…se…Esempio
2l’ultima cifra è pari34, 108
3la somma delle cifre è divisibile per 3231 (2+3+1 = 6)
5finisce con 0 o 545, 120
10finisce con 070, 1 000
4le ultime due cifre sono 00 o multiplo di 4316, 1 200
9la somma delle cifre è divisibile per 9729 (7+2+9 = 18)
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Mappa

Questo numero si può dividere senza resto?

Multipli e divisori
  1. si trovano
    I multipli
    • conla tabellina
    • multipli di 22, 4, 6…
    • sonoinfiniti
  2. dividono
    I divisori
    • esempio2 divide 6
    • perché6 : 2 = 3, senza resto
    • divisori di 61, 2, 3, 6
  3. un numero è divisibile
    I criteri
    • per 2se finisce con 0, 2, 4, 6, 8
    • per 5se finisce con 0 o 5
    • per 10se finisce con 0
    • per 3se la somma delle cifre è multiplo di 3
  4. sono speciali
    I numeri primi
    • che cosa sonohanno solo due divisori: 1 e se stessi
    • esempi2, 3, 5, 7, 11, 13
    • scomposizione12 = 2 × 2 × 3

I multipli sono infiniti; i divisori sono pochi e finiscono.

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Parole importanti

SOTTOMULTIPLOaltro nome del divisore
INFINITÀ DEI PRIMIi numeri primi non finiscono mai (Euclide)
CRIVELLO DI ERATOSTENEmetodo per trovare i primi
TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICAscomposizione unica in primi
NUMERO DEI DIVISORIprodotto degli esponenti + 1
CRITTOGRAFIAscienza dei codici segreti
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Multipli e divisori: a è multiplo di b se esiste un naturale n tale che a = b × n.
  2. Criteri di divisibilità: 2: ultima cifra pari.
  3. Numeri primi: un numero maggiore di 1 è primo se ha esattamente due divisori.
  4. Crivello di Eratostene: si scrivono i numeri da 2 a 100 e si cancellano via via i multipli di 2, 3, 5, 7: restano i primi.
  5. Scomposizione in fattori primi: Teorema fondamentale dell’aritmetica: ogni numero composto si scompone in modo unico come prodotto di fattori primi.
  6. Dalla scomposizione si capiscono molte cose: un numero è divisibile per un altro se contiene tutti i suoi fattori con esponente uguale o maggiore.
  7. Curiosità: i numeri primi molto grandi sono alla base della crittografia che protegge i dati su internet.
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: unica · infiniti · 24 · ogni
0 è multiplo di ______ numero.
I numeri primi sono ______.
La scomposizione in fattori primi è ______.
360 ha ______ divisori.

3Scegli la risposta giusta.

2 838 è divisibile per 11?

4Scegli la risposta giusta.

Quanti divisori ha 2³ × 3?

5Vero o falso?

1 è divisore di ogni numero.

6Vero o falso?

91 è primo.

7Rispondi con parole tue.

Usa il crivello di Eratostene per trovare i numeri primi fino a 50.

8Rispondi con parole tue.

Scomponi 180 e 84 e scrivi tutti i loro divisori.

Com’è andata?
Matematica 1ª · Multipli, divisori e numeri primiSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 🔁 SOTTOMULTIPLO → altro nome del divisore; ♾️ INFINITÀ DEI PRIMI → i numeri primi non finiscono mai (Euclide); 🧹 CRIVELLO DI ERATOSTENE → metodo per trovare i primi; 🌳 TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA → scomposizione unica in primi; 🔢 NUMERO DEI DIVISORI → prodotto degli esponenti + 1; 🔐 CRITTOGRAFIA → scienza dei codici segreti
  2. ogni – infiniti – unica – 24
  3. Sì
  4. 8
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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