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Le potenze

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌱 Classe 1ª📅 Ottobre – Novembre
🔙 Ricordi dalla primariaLe moltiplicazioni ripetute.
🔜 Ti servirà in secondaIn seconda: radice quadrata, l’inverso della potenza.
Matematica 1ª · Le potenzeLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Definizione

Dati due numeri naturali a e n (n ≥ 2), la potenza aⁿ è il prodotto di n fattori uguali ad a. Per convenzione a¹ = a e a⁰ = 1 (a ≠ 0); 0⁰ è privo di significato. L’elevamento a potenza non è commutativo: 2³ = 8 ma 3² = 9.
Il nome “quadrato” e “cubo” viene dalla geometria: l’area di un quadrato di lato 5 è 5², il volume di un cubo di spigolo 2 è 2³.

Proprietà

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · ➗ aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (m ≥ n) · ⚡ (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ · aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ · aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ. Le proprietà permettono calcoli veloci: 25² × 4² = 100² = 10 000.
Non esiste una proprietà per somme: 2³ + 2² ≠ 2⁵ (12 ≠ 32).

Le potenze di 10

10ⁿ è 1 seguito da n zeri. Ogni numero si scrive in forma polinomiale con le potenze di 10. Un numero in notazione scientifica ha la forma k × 10ⁿ con 1 ≤ k < 10: la distanza Terra–Sole è circa 1,5 × 10⁸ km.
L’ordine di grandezza è la potenza di 10 più vicina: permette di confrontare quantità molto diverse (un atomo, una cellula, un pianeta).

Espressioni con le potenze

Ordine: parentesi, potenze, moltiplicazioni e divisioni, addizioni e sottrazioni. Esempio: 2 + 3² × 2 = 2 + 9 × 2 = 20.

Quadrati perfetti e cubi

Quadrati: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Cubi: 1, 8, 27, 64, 125, 1000. Prepararti a riconoscerli ti aiuterà con la radice quadrata in seconda.
Le proprietà delle potenze
ProprietàRegolaEsempio
Prodotto stessa baseaⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ2³ × 2² = 2⁵
Quoziente stessa baseaⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ5⁶ : 5² = 5⁴
Potenza di potenza(aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ(3²)³ = 3⁶
Stesso esponenteaⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ2³ × 5³ = 10³
Matematica 1ª · Le potenzeLivello 4 – Facilitato

Mappa

Come scrivo in breve una moltiplicazione di fattori tutti uguali?

Le potenze
  1. ha
    Com’è fatta
    • baseil numero che ripeto: 2
    • esponentequante volte: 3
  2. si fa
    Come si calcola
    • 2 alla terza2 × 2 × 2
    • risultato8
    • alla secondaal quadrato: 5² = 25
    • alla terzaal cubo: 2³ = 8
  3. attenzione
    Casi speciali
    • esponente 1resta uguale: 7¹ = 7
    • esponente 0fa sempre 1: 7⁰ = 1
    • potenze di 1010³ = 1 000: tanti zeri quanto l’esponente
  4. con la stessa base
    Proprietà
    • prodottosommo gli esponenti: 2³ × 2² = 2⁵
    • quozientesottraggo gli esponenti: 2⁵ : 2² = 2³
    • potenza di potenzamoltiplico: (2³)² = 2⁶

2³ non è 2 × 3! È 2 × 2 × 2 = 8.

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Parole importanti

0⁰espressione priva di significato
NON COMMUTATIVA2³ ≠ 3²
NOTAZIONE SCIENTIFICAk × 10ⁿ con 1 ≤ k < 10
ORDINE DI GRANDEZZApotenza di 10 più vicina a un numero
QUADRATO PERFETTOnumero che è il quadrato di un naturale
CUBO PERFETTOnumero che è il cubo di un naturale
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Definizione: dati due numeri naturali a e n (n ≥ 2), la potenza aⁿ è il prodotto di n fattori uguali ad a.
  2. Il nome “quadrato” e “cubo” viene dalla geometria: l’area di un quadrato di lato 5 è 5², il volume di un cubo di spigolo 2 è 2³.
  3. Proprietà: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · ➗ aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (m ≥ n) · ⚡ (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ · aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ · aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ.
  4. Non esiste una proprietà per somme: 2³ + 2² ≠ 2⁵ (12 ≠ 32).
  5. Le potenze di 10: 10ⁿ è 1 seguito da n zeri.
  6. L’ordine di grandezza è la potenza di 10 più vicina: permette di confrontare quantità molto diverse (un atomo, una cellula, un pianeta).
  7. Espressioni con le potenze: ordine: parentesi, potenze, moltiplicazioni e divisioni, addizioni e sottrazioni.
  8. Quadrati perfetti e cubi: quadrati: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: commutativo · km · 100² · perfetto
L’elevamento a potenza non è ______.
25² × 4² è uguale a ______.
La distanza Terra–Sole è circa 1,5 × 10⁸ ______.
125 è un cubo ______.

3Scegli la risposta giusta.

2 + 3² × 2 =

4Scegli la risposta giusta.

Come si scrive 45 000 in notazione scientifica?

5Vero o falso?

2³ + 2² è diverso da 2⁵.

6Vero o falso?

0⁰ = 1.

7Rispondi con parole tue.

Calcola con le proprietà: (6⁸ : 6⁵) × 6² : 6⁴.

8Rispondi con parole tue.

Spiega perché si dice “al quadrato” e “al cubo”, con un disegno.

Com’è andata?
Matematica 1ª · Le potenzeSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. ❓ 0⁰ → espressione priva di significato; 🚫 NON COMMUTATIVA → 2³ ≠ 3²; 🔬 NOTAZIONE SCIENTIFICA → k × 10ⁿ con 1 ≤ k < 10; 📏 ORDINE DI GRANDEZZA → potenza di 10 più vicina a un numero; 🟩 QUADRATO PERFETTO → numero che è il quadrato di un naturale; 🧊 CUBO PERFETTO → numero che è il cubo di un naturale
  2. commutativo – 100² – km – perfetto
  3. 20
  4. 4,5 × 10⁴
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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