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Il teorema di Pitagora

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌿 Classe 2ª📅 Aprile – Maggio
🔙 Ricordi dalla primaIl triangolo rettangolo e l’angolo retto (90°).
🔜 Ti servirà in terzaPitagora nei solidi e sul piano cartesiano (distanza tra due punti).
Matematica 2ª · Il teorema di PitagoraLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Enunciato

In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. In formula: i² = c₁² + c₂². Il teorema si attribuisce a Pitagora di Samo (VI sec. a.C.), ma era noto anche a Babilonesi e Cinesi.
Vale anche il teorema inverso: se in un triangolo il quadrato del lato maggiore è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, allora il triangolo è rettangolo. Gli Egizi usavano una corda con 12 nodi (3 + 4 + 5) per costruire angoli retti!

Formule

i = √(c₁² + c₂²); c₁ = √(i² − c₂²); c₂ = √(i² − c₁²).

Terne pitagoriche

Primitive: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). Moltiplicando una terna per lo stesso numero se ne ottiene un’altra: (6, 8, 10), (9, 12, 15).

Applicazioni ai poligoni

Rettangolo: d = √(b² + h²). 🟩 Quadrato: d = l × √2 ≈ l × 1,414.
Triangolo isoscele: h = √(l² − (b/2)²). 🔺 Triangolo equilatero: h = l × √3 / 2 ≈ l × 0,866.
Rombo: l = √((D/2)² + (d/2)²).
Trapezio rettangolo: lato obliquo = √(h² + (B − b)²). Trapezio isoscele: proiezione del lato obliquo = (B − b) : 2.

Problemi reali

Una scala lunga 5 m appoggiata a un muro con il piede a 3 m dalla parete raggiunge un’altezza di √(25 − 9) = 4 m. Pitagora serve a calcolare distanze, diagonali dei televisori (in pollici!), percorsi.

Strategia di risoluzione

1) Disegna la figura; 2) individua il triangolo rettangolo; 3) riconosci ipotenusa e cateti; 4) scegli la formula; 5) calcola e controlla che l’ipotenusa sia il lato maggiore.
Il teorema di Pitagora: un esempio con 3, 4 e 5
c₁² = 9c₂² = 16i² = 25345

Il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

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Mappa

Conosco due lati del triangolo rettangolo: come trovo il terzo?

Il teorema di Pitagora
  1. ha
    Il triangolo rettangolo
    • un angolodritto (retto)
    • catetii 2 lati dell’angolo retto
    • ipotenusail lato più lungo
  2. dice che
    Il teorema
    • quadrato dell’ipotenusasomma dei quadrati dei cateti
    • formulai² = c² + C²
    • esempio3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
  3. si usa così
    Le formule
    • cerco l’ipotenusai = √(c² + C²)
    • cerco un catetoc = √(i² − C²)
    • terne pitagoriche3-4-5, 6-8-10, 5-12-13
  4. nella realtà
    Dove serve
    • esempiouna scala appoggiata al muro
    • anchela diagonale di uno schermo
    • nelle figurediagonale del rettangolo e del quadrato

Vale SOLO nei triangoli rettangoli. Cerco l’ipotenusa: sommo. Cerco un cateto: sottraggo.

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Parole importanti

TEOREMA INVERSOse vale i² = c₁² + c₂² il triangolo è rettangolo
TERNA PRIMITIVAterna pitagorica con numeri senza divisori comuni
PROIEZIONE“ombra” di un lato su un altro
POLLICEunità di misura (2,54 cm) usata per le diagonali degli schermi
√2 RADICE DI DUE ≈ 1,414rapporto diagonale/lato del quadrato
√3/2 ≈ 0,866rapporto altezza/lato del triangolo equilatero
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Enunciato: In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
  2. Vale anche il teorema inverso: se in un triangolo il quadrato del lato maggiore è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, allora il triangolo è rettangolo.
  3. Formule: i = √(c₁² + c₂²); c₁ = √(i² − c₂²); c₂ = √(i² − c₁²).
  4. Terne pitagoriche: Primitive: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25).
  5. Applicazioni ai poligoni: rettangolo: d = √(b² + h²). 🟩 Quadrato: d = l × √2 ≈ l × 1,414.
  6. Triangolo isoscele: h = √(l² − (b/2)²). 🔺 Triangolo equilatero: h = l × √3 / 2 ≈ l × 0,866.
  7. Problemi reali: una scala lunga 5 m appoggiata a un muro con il piede a 3 m dalla parete raggiunge un’altezza di √(25 − 9) = 4 m.
  8. Strategia di risoluzione: 1) Disegna la figura; 2) individua il triangolo rettangolo; 3) riconosci ipotenusa e cateti; 4) scegli la formula; 5) calcola e controlla che l’ipotenusa sia il lato maggiore.
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: 0,866 · 4 · 12 · 1,414
Gli Egizi usavano una corda con ______ nodi.
La diagonale del quadrato è circa l × ______.
L’altezza del triangolo equilatero è circa l × ______.
La scala di 5 m raggiunge un’altezza di ______ m.

3Scegli la risposta giusta.

Un triangolo ha lati 9, 12, 15. È rettangolo?

4Scegli la risposta giusta.

Un quadrato ha lato 10 cm. Diagonale circa?

5Vero o falso?

(9, 12, 15) è una terna pitagorica non primitiva.

6Vero o falso?

Nel trapezio isoscele la proiezione del lato obliquo è B + b.

7Rispondi con parole tue.

Un rombo ha diagonali di 24 cm e 10 cm. Calcola il perimetro spiegando i passaggi.

8Rispondi con parole tue.

Un televisore ha lo schermo 80 cm × 60 cm. Quanto misura la diagonale? Quanti pollici sono circa?

Com’è andata?
Matematica 2ª · Il teorema di PitagoraSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 🔄 TEOREMA INVERSO → se vale i² = c₁² + c₂² il triangolo è rettangolo; 🔢 TERNA PRIMITIVA → terna pitagorica con numeri senza divisori comuni; 📐 PROIEZIONE → “ombra” di un lato su un altro; 📺 POLLICE → unità di misura (2,54 cm) usata per le diagonali degli schermi; √2 RADICE DI DUE ≈ 1,414 → rapporto diagonale/lato del quadrato; √3/2 ≈ 0,866 → rapporto altezza/lato del triangolo equilatero
  2. 12 – 1,414 – 0,866 – 4
  3. Sì, perché 81 + 144 = 225
  4. 14,14 cm
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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