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Rapporti e proporzioni

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌿 Classe 2ª📅 Novembre – Dicembre
🔙 Ricordi dalla primaLa divisione e le frazioni equivalenti.
🔜 Ti servirà in terzaLe funzioni y = kx e le equazioni.
Matematica 2ª · Rapporti e proporzioniLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Rapporti tra numeri e grandezze

Il rapporto tra due numeri a e b (b ≠ 0) è il quoziente a : b. Il rapporto tra due grandezze omogenee (stessa specie) è un numero puro (es. scala); tra grandezze non omogenee è una nuova grandezza (velocità = km/h, densità = g/cm³, prezzo unitario = €/kg).
Il rapporto inverso di a : b è b : a.

Le proporzioni

a : b = c : d. a e d estremi, b e c medi; a e c antecedenti, b e d conseguenti. Una proporzione è continua se i medi sono uguali: 4 : 6 = 6 : 9.
Proprietà fondamentale: b × c = a × d. Serve a verificare se quattro numeri formano una proporzione.

Le altre proprietà

Invertire: b : a = d : c. Permutare: scambiare i medi (a : c = b : d) o gli estremi. ➕ Comporre: (a + b) : a = (c + d) : c, oppure (a + b) : b = (c + d) : d. ➖ Scomporre: (a − b) : a = (c − d) : c.

Calcolo del termine incognito

Medio o estremo incognito con la proprietà fondamentale. Medio proporzionale in una proporzione continua: 4 : x = x : 9 → x² = 36 → x = √36 = 6.
Con la proprietà del comporre si risolvono proporzioni con due incognite di cui si conosce la somma: x : y = 3 : 5 con x + y = 40 → (x + y) : x = (3 + 5) : 3 → 40 : x = 8 : 3 → x = 15, y = 25.

Problemi

Scala: su una carta 1 : 50 000 una distanza di 6 cm corrisponde a 6 × 50 000 = 300 000 cm = 3 km.
Ripartizione: dividere 120 € in parti proporzionali a 2 e 3 → 48 € e 72 €.
Una proporzione: 2 : 3 = 4 : 6
TermineNome
2 e 6estremi
3 e 4medi
Proprietàmedi × medi = estremi × estremi → 3 × 4 = 2 × 6 = 12
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Mappa

Come trovo il numero che manca?

Rapporti e proporzioni
  1. parto da
    1Il rapporto
    • 2 cioccolatini, 2 bambini1 a testa
    • che cos’èuna divisione
    • si scrive6 : 3 = 2
  2. due rapporti uguali
    2La proporzione
    • esempio2 : 4 = 3 : 6
    • si legge2 sta a 4 come 3 sta a 6
    • estremiil primo e l’ultimo: 2 e 6
    • mediquelli in mezzo: 4 e 3
  3. vale sempre
    3La regola
    • medi4 × 3 = 12
    • estremi2 × 6 = 12
    • sonouguali
  4. così
    4Trovo la x
    • esempio2 : 4 = x : 6
    • moltiplico gli estremi2 × 6 = 12
    • divido per il medio che conosco12 : 4 = 3

Prodotto dei medi = prodotto degli estremi.

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Parole importanti

GRANDEZZE OMOGENEEdella stessa specie (cm e cm)
GRANDEZZA DERIVATArapporto tra grandezze diverse (km/h)
PROPORZIONE CONTINUAi medi sono uguali
MEDIO PROPORZIONALEmedio di una proporzione continua
PROPRIETÀ DEL COMPORRE(a + b) : a = (c + d) : c
RIPARTIZIONE PROPORZIONALEdividere in parti proporzionali
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Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Rapporti tra numeri e grandezze: il rapporto tra due numeri a e b (b ≠ 0) è il quoziente a : b.
  2. Il rapporto inverso di a : b è b : a.
  3. Le proporzioni: a : b = c : d. a e d estremi, b e c medi; a e c antecedenti, b e d conseguenti.
  4. Proprietà fondamentale: b × c = a × d.
  5. Le altre proprietà: Invertire: b : a = d : c.
  6. Calcolo del termine incognito: medio o estremo incognito con la proprietà fondamentale.
  7. Con la proprietà del comporre si risolvono proporzioni con due incognite di cui si conosce la somma: x : y = 3 : 5 con x + y = 40 → (x + y) : x = (3 + 5) : 3 → 40 : x = 8 : 3 → x = 15, y = 25.
  8. Problemi: Scala: su una carta 1 : 50 000 una distanza di 6 cm corrisponde a 6 × 50 000 = 300 000 cm = 3 km.
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Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: 72 · 3 · tempo · 6
La velocità è il rapporto tra spazio e ______.
In 4 : x = x : 9 il medio proporzionale è ______.
Su una carta 1 : 50 000, 6 cm sono ______ km.
Dividendo 120 € in parti proporzionali a 2 e 3 si ottengono 48 € e ______ €.

3Scegli la risposta giusta.

Qual è il medio proporzionale tra 2 e 8?

4Scegli la risposta giusta.

x : y = 1 : 3 e x + y = 20. Quanto vale x?

5Vero o falso?

Il rapporto tra grandezze omogenee è un numero puro.

6Vero o falso?

La proprietà del comporre vale solo per i medi.

7Rispondi con parole tue.

Su una carta in scala 1 : 200 000 due città distano 7,5 cm. Qual è la distanza reale in km?

8Rispondi con parole tue.

Tre amici dividono una vincita di 900 € in parti proporzionali a 2, 3 e 4. Quanto riceve ciascuno?

Com’è andata?
Matematica 2ª · Rapporti e proporzioniSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 🍎 GRANDEZZE OMOGENEE → della stessa specie (cm e cm); 🏎️ GRANDEZZA DERIVATA → rapporto tra grandezze diverse (km/h); 🔁 PROPORZIONE CONTINUA → i medi sono uguali; 🎯 MEDIO PROPORZIONALE → medio di una proporzione continua; ➕ PROPRIETÀ DEL COMPORRE → (a + b) : a = (c + d) : c; 🍰 RIPARTIZIONE PROPORZIONALE → dividere in parti proporzionali
  2. tempo – 6 – 3 – 72
  3. 4
  4. 5
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

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