Torna a Matematica

Grandezze proporzionali

🦅 Livello 4 · Facilitato➗ Matematica🌿 Classe 2ª📅 Febbraio
🔙 Ricordi dalla primaLe tabelle e i grafici; le quattro operazioni.
🔜 Ti servirà in terzaLe funzioni sul piano cartesiano (rette e iperboli).
Matematica 2ª · Grandezze proporzionaliLivello 4 – Facilitato

Spiegazione

Funzioni e grandezze

Quando a ogni valore di una grandezza x corrisponde un solo valore di un’altra grandezza y si parla di funzione. Tra le funzioni più importanti ci sono quelle di proporzionalità.

Proporzionalità diretta

x e y sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante: y/x = k (costante di proporzionalità), cioè y = kx. Esempi: lato e perimetro del quadrato (k = 4), quantità e prezzo, tempo e spazio a velocità costante.
Nel piano cartesiano il grafico è una retta passante per l’origine O(0;0); più k è grande, più la retta è “ripida”.

Proporzionalità inversa

x e y sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante: x × y = k, cioè y = k/x (x ≠ 0). Esempi: velocità e tempo su un percorso fisso, numero di operai e giorni, base e altezza di rettangoli con la stessa area.
Il grafico è un ramo di iperbole equilatera, che si avvicina agli assi senza mai toccarli.

Problemi del “tre semplice”

Diretto: 3 kg di pane costano 7,50 €; quanto costano 5 kg? 3 : 7,50 = 5 : x → x = 12,50 €.
Inverso: 6 rubinetti riempiono una vasca in 4 ore; quanto impiegano 8 rubinetti? 6 × 4 = 8 × x → x = 3 ore.

Il piano cartesiano

Ogni punto è individuato da due coordinate (x; y): l’ascissa sull’asse orizzontale e l’ordinata sull’asse verticale. Per disegnare un grafico si costruisce la tabella, si segnano i punti e si uniscono.
Diretta o inversa?
ProporzionalitàSe x raddoppia…Esempio
📈 Direttaanche y raddoppia1 kg mele = 2 €; 2 kg = 4 €
📉 Inversay diventa la metà2 operai: 6 giorni; 4 operai: 3 giorni
Matematica 2ª · Grandezze proporzionaliLivello 4 – Facilitato

Mappa

Se una grandezza raddoppia, l’altra che cosa fa?

Grandezze proporzionali
  1. al mercato
    Un esempio
    • 1 mela1 €
    • 2 mele2 €
    • 3 mele3 €
  2. la regola è
    Diretta
    • più melepiù euro
    • meno melemeno euro
    • se una raddoppiaraddoppia anche l’altra
    • graficouna retta che parte dall’origine
    • formulay = k × x
  3. più… meno
    Inversa
    • 1 operaio6 ore
    • 2 operai3 ore
    • se una raddoppial’altra si dimezza
    • graficouna curva (iperbole)
    • formulax × y = k

Diretta: il rapporto resta uguale. Inversa: il prodotto resta uguale.

Matematica 2ª · Grandezze proporzionaliLivello 4 – Facilitato

Parole importanti

FUNZIONEa ogni x corrisponde un solo y
COSTANTE DI PROPORZIONALITÀk
PIANO CARTESIANOdue assi perpendicolari con un’origine
ASCISSAcoordinata x (orizzontale)
ORDINATAcoordinata y (verticale)
TRE SEMPLICEproblema con proporzionalità diretta o inversa
Matematica 2ª · Grandezze proporzionaliLivello 4 – Facilitato

Frasi da copiare

Copia le frasi in ordine sul quaderno. Insieme formano il riassunto della lezione: ripetilo a voce per l’interrogazione.
  1. Funzioni e grandezze: quando a ogni valore di una grandezza x corrisponde un solo valore di un’altra grandezza y si parla di funzione.
  2. Proporzionalità diretta: x e y sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante: y/x = k (costante di proporzionalità), cioè y = kx.
  3. Nel piano cartesiano il grafico è una retta passante per l’origine O(0;0); più k è grande, più la retta è “ripida”.
  4. Proporzionalità inversa: x e y sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante: x × y = k, cioè y = k/x (x ≠ 0).
  5. Il grafico è un ramo di iperbole equilatera, che si avvicina agli assi senza mai toccarli.
  6. Problemi del “tre semplice”: Diretto: 3 kg di pane costano 7,50 €; quanto costano 5 kg?
  7. Inverso: 6 rubinetti riempiono una vasca in 4 ore; quanto impiegano 8 rubinetti?
  8. Il piano cartesiano: ogni punto è individuato da due coordinate (x; y): l’ascissa sull’asse orizzontale e l’ordinata sull’asse verticale.
Matematica 2ª · Grandezze proporzionaliLivello 4 – Facilitato

Esercizi

Scheda:Tre schede diverse sullo stesso argomento: per ripassare, per il compagno di banco, per la verifica.

Scheda A

☆Completa gli esercizi e guadagna le stelle!

1Collega ogni parola al suo significato.

2Completa le frasi con la parola giusta.

Parole: iperbole · lato · ascissa · 3
Nel quadrato il perimetro è direttamente proporzionale al ______.
Il grafico di y = k/x è un’______.
La coordinata orizzontale si chiama ______.
6 rubinetti in 4 ore equivalgono a 8 rubinetti in ______ ore.

3Scegli la risposta giusta.

Se y = 3x, quanto vale y per x = 7?

4Scegli la risposta giusta.

5 operai impiegano 12 giorni. Quanti giorni impiegano 6 operai?

5Vero o falso?

Il grafico della proporzionalità diretta passa per l’origine.

6Vero o falso?

L’iperbole equilatera tocca gli assi cartesiani.

7Rispondi con parole tue.

Costruisci la tabella e il grafico di y = 2x per x da 0 a 5.

8Rispondi con parole tue.

Spiega perché base e altezza di rettangoli con area 24 cm² sono inversamente proporzionali.

Com’è andata?
Matematica 2ª · Grandezze proporzionaliSoluzioni – Livello 4

✅ Soluzioni

Scheda A

  1. 🔁 FUNZIONE → a ogni x corrisponde un solo y; 🔢 COSTANTE DI PROPORZIONALITÀ → k; 📍 PIANO CARTESIANO → due assi perpendicolari con un’origine; ↔️ ASCISSA → coordinata x (orizzontale); ↕️ ORDINATA → coordinata y (verticale); 🧩 TRE SEMPLICE → problema con proporzionalità diretta o inversa
  2. lato – iperbole – ascissa – 3
  3. 21
  4. 10
  5. VERO
  6. FALSO
  7. Risposta libera.
  8. Risposta libera.

Ti è stata utile questa scheda?

Il tuo voto

Se hai meno di 14 anni non scrivere il tuo nome.

Le risposte le legge solo l’autore del sito e servono a migliorare le schede. Nome e commento vengono pubblicati solo con il tuo consenso e dopo una verifica.

Scheda didattica facilitata per tutta la classe di Matematica per la classe 2ª media su “Grandezze proporzionali”: spiegazione con immagini, mappa concettuale, parole chiave, frasi da copiare ed esercizi interattivi stampabili in PDF. Altri livelli: 🐣 Livello 1 · Primi passi · 🐥 Livello 2 · Super semplificato · 🦉 Livello 3 · Semplificato.